某甲与某乙是邻居，二人素有私仇。某乙性情暴躁，蛮不讲理，甲想寻机将乙痛打一顿，以泄私愤。一天雪后扫雪时，甲故意把从院中扫除的雪都堆在乙的门口，乙见状破口大骂，并动手打了甲。甲立即还击，将乙打成重伤。甲打伤乙的行为是否构成正当防卫？