Fx =30+4t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m=10kg 的物体上,试求:(1) 在开始2s 内此力的冲量;(2) 若冲量I =300 N·s,此力作用的时间;(3) 若物体的初速度v1 =10m·s-1 ,方向与Fx 相同,在t=6.86s时,此物体的速度v2 .分析 本题可由冲量的定义式=(int )_(11)^12Fdt,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2.解 (1) 由分析知=(int )_(11)^12Fdt(2) 由I =300 =30t +2t2 ,解此方程可得t =6.86s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I =m v2- m v1由(2)可知t =6.86s 时I =300 N·s ,将I、m 及v1代入可得=(int )_(11)^12Fdt281.50x(2) 在t =1.00s 到t =2.0s时间内的平均速度(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为=(int )_(11)^12Fdt则t1 =1.00s时的速度v(t)|=2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为(4) t =1.0s质点的速度大小为=(int )_(11)^12Fdt则282.31 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程,叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(α粒子)时,可释放出25.9MeV 的能量.即=(int )_(11)^12Fdt这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变,就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大,只有在极高的温度下,使原子热运动的速度非常大,才能使原子核相碰而结合,故核聚变反应又称作热核反应.试估算:(1)一个质子()以多大的动能(以电子伏特表示)运动,才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离? (2)平均热运动动能达到此值时,温度有多高? (质子的半径约为1.0 ×10m)分析 作为估算,可以将质子上的电荷分布看作球对称分布,因此质子周围的电势分布为将质子作为经典粒子处理,当另一质子从无穷远处以动能E飞向该质子时,势能增加,动能减少,如能克服库仑斥力而使两质子相碰,则质子的初始动能=(int )_(11)^12Fdt假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能,根据分子动理论知:=(int )_(11)^12Fdt由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度.解 (1) 两个质子相接触时势能最大,根据能量守恒由=(int )_(11)^12Fdt可估算出质子初始速率该速度已达到光速的4%.(2) 依照上述假设,质子的初始动能等于氢分子的平均动能得 =(int )_(11)^12Fdt实际上在这么高的温度下,中性原子已被离解为电子和正离子,称作等离子态,高温的等离子体不能用常规的容器来约束,只能采用磁场来约束(托卡马克装置)283.16地球周围的大气犹如一部大电机,由于雷雨云和大气气流的作用,在晴天区域,大气电离层总是带有大量的正电荷,云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为,方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心,在大气层中取与地球同心的球面为高斯面,利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面,其半径=(int )_(11)^12Fdt(为地球平均半径).由高斯定理地球表面电荷面密度单位面积额外电子数284.6一汽车发动机曲轴的转速在12 s 内由1.2×10r·min均匀的增加到2.7×10r·min.(1) 求曲轴转动的角加速度;(2) 在此时间内,曲轴转了多少转?分析 这是刚体的运动学问题.刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系,本题为匀变速转动.解 (1) 由于角速度ω=2π n(n 为单位时间内的转数),根据角加速度的定义,在匀变速转动中角加速度为=(int )_(11)^12Fdt(2) 发动机曲轴转过的角度为=(int )_(11)^12Fdt在12 s 内曲轴转过的圈数为圈285.18一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为σ,在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性,但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加,求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′=-σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.解 由教材中第5-4节例4可知,在无限大带电平面附近=(int )_(11)^12Fdt为沿平面外法线的单位矢量;圆盘激发的电场它们的合电场强度为在圆孔中心处x =0,则E =0在距离圆孔较远时x >>r,则上述结果表明,在x >>r 时,带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.286.6设在地球表面附近,一初质量为5.00 ×10kg 的火箭,从尾部喷出气体的速率为2.00 ×10m·s .(1) 试问:每秒需喷出多少气体,才能使火箭最初向上的加速度大小为4.90 m·s .(2) 若火箭的质量比为6.00,求该火箭的最后速率.分析 这是一个系统内质量转移的问题.为了讨论火箭的运动规律,仍需建立其在重力场中的动力学方程.为此,以t 时刻质量为m 的火箭为研究对象,它在t→t +Δt 的时间内,将分离成火箭主体(包括尚剩的燃料)和排出的燃料两部分.根据它们的总动量的增量ΣdP 和系统所受的外力———重力(阻力不计),由动量定理可得到-mg =udm′/dt +mdv/dt(推导从略,见教材),即火箭主体的动力学方程.由于在dt 时间内排出燃料的质量dm′很小,式中m 也就可以视为此刻火箭主体的质量, 而燃料的排出率dm′/dt 也就是火箭质量的变化率-dm/dt.这样,上述方程也可写成=(int )_(11)^12Fdt.在特定加速度a 的条件下,根据初始时刻火箭的质量m ,就可求出燃料的排出率dm/dt.在火箭的质量比( 即t 时刻火箭的质量m 与火箭的初始质量m之比) 已知的条件下,可算出火箭所经历的时间,则火箭运动的速率可通过对其动力学方程积分后解得.解 (1) 以火箭发射处为原点,竖直向上为正方向.该火箭在重力场中的动力学方程为=(int )_(11)^12Fdt (1)因火箭的初始质量为m =5.00 ×10kg, 要使火箭获得最初的加速度

Fx =30+4t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m=10kg 的物体上,试求:(1) 在开始2s 内此力的冲量;(2) 若冲量I =300 N·s,此力作用的时间;(3) 若物体的初速度v1 =10m·s-1 ,方向与Fx 相同,在t=6.86s时,此物体的速度v2 .

分析 本题可由冲量的定义式,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2.

解 (1) 由分析知

(2) 由I =300 =30t +2t2 ,解此方程可得

t =6.86s(另一解不合题意已舍去)

(3) 由动量定理,有

I =m v2- m v1

由(2)可知t =6.86s 时I =300 N·s ,将I、m 及v1代入可得

281.50x

(2) 在t =1.00s 到t =2.0s时间内的平均速度

(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

则t1 =1.00s时的速度

v(t)|=2.0i -4.0j

切向和法向加速度分别为

(4) t =1.0s质点的速度大小为

则

282.31 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程,叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(α粒子)时,可释放出25.9MeV 的能量.即

这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变,就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大,只有在极高的温度下,使原子热运动的速度非常大,才能使原子核相碰而结合,故核聚变反应又称作热核反应.试估算:(1)一个质子()以多大的动能(以电子伏特表示)运动,才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离? (2)平均热运动动能达到此值时,温度有多高? (质子的半径约为1.0 ×10m)

分析 作为估算,可以将质子上的电荷分布看作球对称分布,因此质子周围的电势分布为

将质子作为经典粒子处理,当另一质子从无穷远处以动能E飞向该质子时,势能增加,动能减少,如能克服库仑斥力而使两质子相碰,则质子的初始动能

假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能,根据分子动理论知:

由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度.

解 (1) 两个质子相接触时势能最大,根据能量守恒

由可估算出质子初始速率该速度已达到光速的4%.

(2) 依照上述假设,质子的初始动能等于氢分子的平均动能

得

实际上在这么高的温度下,中性原子已被离解为电子和正离子,称作等离子态,高温的等离子体不能用常规的容器来约束,只能采用磁场来约束(托卡马克装置)

283.16地球周围的大气犹如一部大电机,由于雷雨云和大气气流的作用,在晴天区域,大气电离层总是带有大量的正电荷,云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为,方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).

分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心,在大气层中取与地球同心的球面为高斯面,利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.

解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面,其半径(为地球平均半径).由高斯定理

地球表面电荷面密度

单位面积额外电子数

284.6一汽车发动机曲轴的转速在12 s 内由1.2×10r·min均匀的增加到2.7×10r·min.(1) 求曲轴转动的角加速度;(2) 在此时间内,曲轴转了多少转?

分析 这是刚体的运动学问题.刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系,本题为匀变速转动.

解 (1) 由于角速度ω=2π n(n 为单位时间内的转数),根据角加速度的定义,在匀变速转动中角加速度为

(2) 发动机曲轴转过的角度为

在12 s 内曲轴转过的圈数为

圈

285.18一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为σ,在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.

分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性,但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加,求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′=-σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.

解 由教材中第5-4节例4可知,在无限大带电平面附近

为沿平面外法线的单位矢量;圆盘激发的电场

它们的合电场强度为

在圆孔中心处x =0,则

E =0

在距离圆孔较远时x >>r,则

上述结果表明,在x >>r 时,带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.

286.6设在地球表面附近,一初质量为5.00 ×10kg 的火箭,从尾部喷出气体的速率为2.00 ×10m·s .(1) 试问:每秒需喷出多少气体,才能使火箭最初向上的加速度大小为4.90 m·s .(2) 若火箭的质量比为6.00,求该火箭的最后速率.

分析 这是一个系统内质量转移的问题.为了讨论火箭的运动规律,仍需建立其在重力场中的动力学方程.为此,以t 时刻质量为m 的火箭为研究对象,它在t→t +Δt 的时间内,将分离成火箭主体(包括尚剩的燃料)和排出的燃料两部分.根据它们的总动量的增量ΣdP 和系统所受的外力———重力(阻力不计),由动量定理可得到-mg =udm′/dt +mdv/dt(推导从略,见教材),即火箭主体的动力学方程.由于在dt 时间内排出燃料的质量dm′很小,式中m 也就可以视为此刻火箭主体的质量, 而燃料的排出率dm′/dt 也就是火箭质量的变化率-dm/dt.这样,上述方程也可写成.在特定加速度a 的条件下,

根据初始时刻火箭的质量m ,就可求出燃料的排出率dm/dt.在火箭的质量比( 即t 时刻火箭的质量m 与火箭的初始质量m之比) 已知的条件下,可算出火箭所经历的时间,则火箭运动的速率可通过对其动力学方程积分后解得.

解 (1) 以火箭发射处为原点,竖直向上为正方向.该火箭在重力场中的动力学方程为

(1)

因火箭的初始质量为m =5.00 ×10kg, 要使火箭获得最初的加速度

A. =4.90 m·s-2,则燃气的排出率为
B.
C. (2) 为求火箭的最后速率,可将式(1)改写成
D.
E. 分离变量后积分,有
F.
G. 火箭速率随时间的变化规律为
(2)
因火箭的质量比为6.00,故经历时间t 后,其质量为

得 (3)
将式(3)代入式(2),依据初始条件,可得火箭的最后速率

所示,天文观测台有一半径为R 的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计.求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度.

N 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功;而重力P又是保守内力,所以,系统的机械能守恒.但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量;因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程.求解上述两方程即可得出结果.
解 由系统的机械能守恒,有
(1)
根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为
(2)
N =0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置

冰块此时的速率为

P 方向的夹角为
α=90°-θ =41.8°
A′ 轴的转动惯量JAA′=1.93×1