《水浒传》中三位女将是谁 ? 她们的绰号是什么?①扈三娘、一丈青 ②孙二娘、母夜叉 ③顾大嫂、母大虫解 (1) 将与比较后可得:振幅A =0.10m,角频率,初相=0.25,则周期,频率.(2)时的位移、速度、加速度分别为5-6 一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相等,水的密度为ρ,且不计水的粘滞阻力,证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动周期.分析 要证明货轮作简谐运动,需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时,它所受的合外力与位移间的关系,如果满足,则货轮作简谐运动.通过即可求得振动周期.证 货轮处于平衡状态时[图(a)],浮力大小为F =mg.当船上下作微小振动时,取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O,竖直向下为x 轴正向,如图(b)所示.则当货轮向下偏移x 位移时,受合外力为其中为此时货轮所受浮力,其方向向上,大小为题5-6 图则货轮所受合外力为式中是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动.由可得货轮运动的微分方程为令,可得其振动周期为5-7 如图(a)所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为、 .当物体在光滑斜面上振动时.(1) 证明其运动仍是简谐运动;(2) 求系统的振动频率.题5-7 图分析 从上两题的求解知道,要证明一个系统作简谐运动,首先要分析受力情况,然后看是否满足简谐运动的受力特征(或简谐运动微分方程).为此,建立如图(b)所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O,Ox 轴正向沿斜面向下,由受力分析可知,沿Ox 轴,物体受弹性力及重力分力的作用,其中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等,分析物体在任一位置时受力与位移的关系,即可证得物体作简谐运动,并可求出频率.证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为、,则由物体受力平衡,有 (1)按图(b)所取坐标,物体沿x 轴移动位移x时,两弹簧又分别被拉伸和,即.则物体受力为 (2)将式(1)代入式(2)得 (3)由式(3)得、,而,则得到式中为常数,则物体作简谐运动,振动频率讨论 (1) 由本题的求证可知,斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响.事实上,无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动.而且可以证明它们的频率相同,均由弹簧振子的固有性质决定,这就是称为固有频率的原因.(2) 如果振动系统如图(c)(弹簧并联)或如图(d)所示,也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动,且振动频率均为,读者可以一试.通过这些例子可以知道,证明物体是否作简谐运动的思路是相同的.5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅A=2.0 ×10 m,周期T=0.50s.当t=0 时,(1) 物体在正方向端点;(2) 物体在平衡位置、向负方向运动;(3) 物体在x =-1.0×10m 处, 向负方向运动; (4) 物体在x=-1.0×10 m处,向正方向运动.求以上各种情况的运动方程.分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下,确定初相φ是求解简谐运动方程的关键.初相的确定通常有两种方法.(1) 解析法:由振动方程出发,根据初始条件,即t =0 时,x =x-2 和v =v-2 来确定φ值.(2) 旋转矢量法:如图(a)所示,将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x-2 和速度v 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ.旋转矢量法比较直观、方便,在分析中常采用.题5-8 图解 由题给条件知A =2.0 ×10 m,,而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求.

《水浒传》中三位女将是谁 ? 她们的绰号是什么?

①扈三娘、一丈青 ②孙二娘、母夜叉 ③顾大嫂、母大虫

解 (1) 将与比较后可得:振幅A =0.10m,角频率,初相=0.25,则周期,频率.

(2)时的位移、速度、加速度分别为

5-6 一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相等,水的密度为ρ,且不计水的粘滞阻力,证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动周期.

分析 要证明货轮作简谐运动,需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时,它所受的合外力与位移间的关系,如果满足,则货轮作简谐运动.通过即可求得振动周期.

证 货轮处于平衡状态时[图(a)],浮力大小为F =mg.当船上下作微小振动时,取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O,竖直向下为x 轴正向,如图(b)所示.则当货轮向下偏移x 位移时,受合外力为

其中为此时货轮所受浮力,其方向向上,大小为

题5-6 图

则货轮所受合外力为

式中是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动.

由可得货轮运动的微分方程为

令,可得其振动周期为

5-7 如图(a)所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为、 .当物体在光滑斜面上振动时.(1) 证明其运动仍是简谐运动;(2) 求系统的振动频率.

题5-7 图

分析 从上两题的求解知道,要证明一个系统作简谐运动,首先要分析受力情况,然后看是否满足简谐运动的受力特征(或简谐运动微分方程).为此,建立如图(b)所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O,Ox 轴正向沿斜面向下,由受力分析可知,沿Ox 轴,物体受弹性力及重力分力的作用,其中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等,分析物体在任一位置时受力与位移的关系,即可证得物体作简谐运动,并可求出频率.

证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为、,则由物体受力平衡,有

(1)

按图(b)所取坐标,物体沿x 轴移动位移x时,两弹簧又分别被拉伸和,即.则物体受力为

(2)

将式(1)代入式(2)得

(3)

由式(3)得、,而,则得到

式中为常数,则物体作简谐运动,振动频率

讨论 (1) 由本题的求证可知,斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响.事实上,无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动.而且可以证明它们的频率相同,均由弹簧振子的固有性质决定,这就是称为固有频率的原因.(2) 如果振动系统如图(c)(弹簧并联)或如图(d)所示,也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动,且振动频率均为,读者可以一试.通过这些例子可以知道,证明物体是否作简谐运动的思路是相同的.

5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅A=2.0 ×10 m,周期T=0.50s.当t=0 时,(1) 物体在正方向端点;(2) 物体在平衡位置、向负方向运动;(3) 物体在x =-1.0×10m 处, 向负方向运动; (4) 物体在x=-1.0×10 m处,向正方向运动.求以上各种情况的运动方程.

分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下,确定初相φ是求解简谐运动方程的关键.初相的确定通常有两种方法.(1) 解析法:由振动方程出发,根据初始条件,即t =0 时,x =x-2 和v =v-2 来确定φ值.(2) 旋转矢量法:如图(a)所示,将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x-2 和速度v 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ.旋转矢量法比较直观、方便,在分析中常采用.

题5-8 图

解 由题给条件知A =2.0 ×10 m,,而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求.