第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图解答:在一个周期的表达式为积分区间取(-T/2,T/2)所以复指数函数形式的傅里叶级数为x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图,x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-2 求正弦信号x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图的绝对均值x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图和均方根值x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图。解答:x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-3 求指数函数x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图的频谱。解答:x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图a)符号函数的频谱t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图b)阶跃函数频谱在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。解法1:利用符号函数结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图解法2:利用冲激函数根据傅里叶变换的积分特性1-5 求被截断的余弦函数x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图 (见图1-26)的傅里叶变换。x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图x(t)-|||-A-|||--dfrac ({T)_(0)}(2) dfrac ({T)_(0)}(2) square -|||--(1)_(0) 0 To-|||-t-|||--A-|||-图 1-4 周期方波信号波形图

第一章 信号的分类与描述

1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。

解答:在一个周期的表达式为

积分区间取(-T/2,T/2)

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

,。

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。

解答:

1-3 求指数函数的频谱。

解答:

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

a)符号函数的频谱

t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。

b)阶跃函数频谱

在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。

解法1:利用符号函数

结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。

解法2:利用冲激函数

根据傅里叶变换的积分特性

1-5 求被截断的余弦函数 (见图1-26)的傅里叶变换。