在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax^2+bx-3(a gt 0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.(1)求m的值;(2)若点Q(m,-4)在y=ax^2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当0leqslant xleqslant 4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;(3)设y=ax^2+bx-3的图象与x轴交点为(x_(1),0),(x_(2),0)(x_(1) lt x_(2)).若4 lt x_(2)-x_(1) lt 6,求a的取值范围.

在平面直角坐标系$xOy$中,点$P\left(2,-3\right)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3\left(a \gt 0\right)$的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线$x=m$.
$(1)$求$m$的值;
$(2)$若点$Q\left(m,-4\right)$在$y=ax^{2}+bx-3$的图象上,将该二次函数的图象向上平移$5$个单位长度,得到新的二次函数的图象.当$0\leqslant x\leqslant 4$时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
$(3)$设$y=ax^{2}+bx-3$的图象与$x$轴交点为$(x_{1}$,$0)$,$(x_{2}$,$0)(x_{1} \lt x_{2})$.若$4 \lt x_{2}-x_{1} \lt 6$,求$a$的取值范围.

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