习题设是一个阶下三角矩阵。证明:(1)如果的对角线元素,则必可对角化;(2)如果的对角线元素,且不是对角阵,则不可对角化。证明:(1)因为是一个阶下三角矩阵,所以的特征多项式为,又因,所以有个不同的特征值,即有个线性无关的特征向量,以这个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵,则有为对角阵,故必可对角化。(2)假设可对角化,即存在对角阵,使得与相似,进而与有相同的特征值。又因为矩阵的特征多项式为,所以,从而,于是对于任意非退化矩阵,都有,而不是对角阵,必有,与假设矛盾,所以不可对角化。习题设维线性空间的线性变换有个不同的特征值,是的特征子空间。证明:(1)是直和;(2)可对角化的充要条件是。证明:(1)取的零向量,写成分解式有,其中,。现用分别作用分解式两边,可得。写成矩阵形式为。由于是互不相同的,所以矩阵的行列式不为零,即矩阵是可逆的,进而有,。这说明的零向量的分解式是唯一的,故由定义可得是直和。(2)因,都是的子空间,所以有。又因可对角化,所以有个线性无关的特征向量,它们定属于某一特征值,即它们都属于。对任意的,一定可由个线性无关的特征向量线性表示,所以,即得成立,故有。因,所以分别取的基:,,其中,进而得的基:,。又知基向量中的每一个向量都是的特征向量,故得有个线性无关的特征向量,所以可对角化。习题设是阶对角阵,它的特征多项式为,其中两两不同。设,证明:是的子空间,且。证明:对,即,,,有,所以,即是的子空间。设,则由习题知与可交换的矩阵只能是准对角矩阵,即,其中为阶方阵,。进而对,都可由行,列元素为,其余元素全为零的阶方阵线性表示。显然线性无关,构成的一组基,所以。习题设为准对角阵,,其中是阶矩阵,它的最小多项式是。证明:。(即的最小多项式是的最小多项式的最低公倍式。)证明:令为对角线上诸块的最小多项式,且。因为的最小多项式,则由可得,。又因的最小多项式整除任何以为根的多项式,所以,。从而。又由于,。而,故。从而。于是又有。又因它们的首项系数都是,故。习题求下列矩阵的最小多项式,并判断它是否可对角化:(1); (2)。

习题设是一个阶下三角矩阵。证明:

(1)如果的对角线元素,则必可对角化;

(2)如果的对角线元素,且不是对角阵,则不可对角化。

证明:(1)因为是一个阶下三角矩阵,所以的特征多项式为,又因,所以有个不同的特征值,即有个线性无关的特征向量,以这个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵,则有为对角阵,故必可对角化。

(2)假设可对角化,即存在对角阵,使得与相似,进而与有相同的特征值。又因为矩阵的特征多项式为,所以,从而,于是对于任意非退化矩阵,都有,而不是对角阵,必有,与假设矛盾,所以不可对角化。

习题设维线性空间的线性变换有个不同的特征值,是的特征子空间。证明:

(1)是直和;

(2)可对角化的充要条件是。

证明:(1)取的零向量,写成分解式有

,其中,。现用分别作用分解式两边,可得

。

写成矩阵形式为

。

由于是互不相同的,所以矩阵的行列式不为零,即矩阵是可逆的,进而有

,。

这说明的零向量的分解式是唯一的,故由定义可得是直和。

(2)因,都是的子空间,所以有。又因可对角化,所以有个线性无关的特征向量,它们定属于某一特征值,即它们都属于。对任意的,一定可由个线性无关的特征向量线性表示,所以,即得成立,故有。

因,所以分别取的基:,,其中,进而得的基:,。又知基向量中的每一个向量都是的特征向量,故得有个线性无关的特征向量,所以可对角化。

习题设是阶对角阵,它的特征多项式为

,

其中两两不同。设

,

证明:是的子空间,且

。

证明:对,即,,,有

,

所以,即是的子空间。

设,则由习题知与可交换的矩阵只能是准对角矩阵,即,其中为阶方阵,。进而对,都可由行,列元素为,其余元素全为零的阶方阵

线性表示。显然

线性无关,构成的一组基,所以。

习题设为准对角阵,

,

其中是阶矩阵,它的最小多项式是。证明:

。

(即的最小多项式是的最小多项式的最低公倍式。)

证明:令为对角线上诸块的最小多项式,且。因为的最小多项式,则由可得,。又因的最小多项式整除任何以为根的多项式,所以,。从而。

又由于,。而,故。从而

。

于是又有。又因它们的首项系数都是,故

。

习题求下列矩阵的最小多项式,并判断它是否可对角化:

(1); (2)。