【例20】设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，且存在c∈(a,b)使f(c)<0.试证：exists xi,etain(a,b),f^prime(xi)<0,f^primeprime(eta)>0.

【例20】设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，且存在c∈(a,b)使f(c)<0.试证：$\exists \xi,\eta\in(a,b),f^{\prime}(\xi)<0,f^{\prime\prime}(\eta)>0.$

参考答案与解析：

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设 a < c < b，函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f(a) = f(c) = f(b)，证明：在 (a, b) 内至少存在: 设 a < c < b，函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f(a) = f(c) = f(b)，证明：在 (a, b)

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(1)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试证存在xiin(a,b)，使f'(xi)=(f(xi)-f(a))/(b-xi).: (1)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试证存在xiin(a,b)，使f(xi)=(f(xi)-f(a))/(b-xi).(1)设f(x)在[a

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7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1.证明：存在xi，etain(a,b)，使 e^eta-xi[f(eta)+f'(eta)]=1.: 7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1.证明：存在xi，etain(a,b)，使 e^eta-xi[f(eta)+f

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16.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导, (a)=f(b), 且f(x)在[a,b ]上不恒为-|||-常数.证明:存在ξ, in (a,b), 使得 '(xi )gt 0: 16.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导, (a)=f(b), 且f(x)在[a,b ]上不恒为-|||-常数.证明:存在ξ, in (a,b

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3.设非常值函数f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可-|||-导,且 (a)=f(b), 证明:存在 xi in (a,b), 使-|||-得 '(xi )gt 0.: 3.设非常值函数f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可-|||-导,且 (a)=f(b), 证明:存在 xi in (a,b), 使-|||-得 (xi

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设函数 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0。证明：存在 xi in (0,1)，使得 f''(xi) = (2f'(xi))/(1-xi)。: 设函数 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0。证明：存在 xi in (0,1)，使得 f(xi) = (2f(xi))/(1-xi

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设f(x)在[a,b ]上连续,在(a,b )内可导,证明至少存在一点 xi in (a,b), 使-|||-xi [ f(a)-f(b)] =((a)^2-(b)^2)f'(xi ) )f`: 设f(x)在[a,b ]上连续,在(a,b )内可导,证明至少存在一点 xi in (a,b), 使-|||-xi [ f(a)-f(b)] =((a)^2-(

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"-|||-设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中 gt 0 ,f(a)=0 ,证明至少存在一,-|||-(xi )=dfrac (b-xi )(a)f'(xi ): "-|||-设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中 gt 0 ,f(a)=0 ,证明至少存在一,-|||-(xi )=dfrac (b-xi )

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3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,求证:存在 xi in (a,b), 使得 '(xi )=dfrac (f(xi )-f(a))(b-{xi )_(1)}.: 3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,求证:存在 xi in (a,b), 使得 (xi )=dfrac (f(xi )-f(a))(b-{x

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